Αρχική Σελίδα   English Version


Σελίδα Μαθήματος : Δυναμικά Συστήματα & Πολυπλοκότητα

Κωδικός Μαθήματος: TAE463 
Εξάμηνο: 7
  Κατεύθυνση: ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ 
  Κατηγορία: Επιλογής
  Διδακτικές Μονάδες: 3
  Μονάδες ECTS:
  Διδάσκων:   Ιωάννης Κιουτσιούκης  Ιωάννης Κιουτσιούκης- Περισσότερες Πληροφορίες
    Δημήτριος Σουρλάς  Δημήτριος Σουρλάς- Περισσότερες Πληροφορίες

Περιγραφή Μαθήματος

Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα του μαθήματος
Μετά την επιτυχή εξέταση του μαθήματος, ο φοιτητής θα είναι σε θέση να:
1. μελετά γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα
2. βρίσκει οριακούς κύκλους
3. μελετά Xαμιλτονιακά συστήματα
4. βρίσκει σημεία διακλαδώσεως
5. χρησιμοποιεί την απεικόνιση Poincare για την μελέτη μη αυτόνομων συστημάτων δ.ε.
6. εφαρμόζει την θεωρία για την μοντελοποίηση πληθυσμών ενός είδους
7. βρίσκει διακλαδώσεις διπλασιασμού περιόδου
8. ξέρει τι είναι ένα σύνολο fractal
9. μπορεί να χρησιμοποιεί το μαθηματικό πακέτο Matlab

Δεξιότητες
Μετά την επιτυχή εξέταση του μαθήματος, ο φοιτητής θα είναι σε θέση να:
1. ταξινομεί τα κρίσιμα σημεία στο επίπεδο
2. κατασκευάζει τα φασικά διαγράμματα χρησιμοποιώντας τις ισοκλινείς καμπύλες, τα διευθύνοντα πεδία, τις ιδιοτιμές
3. αποδεικνύει την ύπαρξη και την μοναδικότητα των οριακών κύκλων
4. σχεδιάζει το φασικό πορτραίτο των Χαμιλτινιανών συστημάτων
5. περιγράφει πως ένα φασικό πορτραίτο αλλάζει όταν αλλάζει μια παράμετρος
6. ερμηνεύει τα διαγράμματα διακλαδώσεως
7. χρησιμοποιεί την απεικόνιση Poincare σαν εργαλείο για την μελέτη της ευστάθειας και των διακλαδώσεων
8. παράγει γραφικές επαναλήψεις σε απεικονίσεις μιας διαστάσεως
9. εκτελεί απλές μιγαδικές επαναλήψεις
10. σχεδιάζει ορισμένα fractal σύνολα χρησιμοποιώντας το μαθηματικό πακέτο Matlab
11. εφαρμόζει την θεωρία σε συστήματα με διαφορετικό επίπεδο πολυπλοκότητας: classical mechanics, fluids, systems biology, sociophysics, game theory, ecology, neuroscience, etc

Προαπαιτήσεις
1. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
2. Γραμμική ¶λγεβρα

Περιεχόμενα (ύλη) του μαθήματος

1. Αυτόνομες Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης

  • Κρίσιμα σημεία, ευστάθεια, γραμμική ανάλυση ευστάθειας, ύπαρξη και μοναδικότητα, διακλαδώσεις

2. Αυτόνομα Συστήματα στο επίπεδο 

  • Γραμμικά Συστήματα στο επίπεδο: ταξινόμηση, ευσταθείς και ασταθείς πολλαπλότητες, διαγράμματα φάσεων
  • Μη Γραμμικά Συστήματα στο επίπεδο: τοπολογική ισοδυναμία, κρίσιμα σημεία και γραμμικοποίηση, διαγράμματα φάσεων
  • Οριακοί κύκλοι: υπαρξη και μοναδικότητα, μη-ύπαρξη οριακών κύκλων
  • Διακλαδώσεις: σάγματος-κόμβου, μετακρίσιμη, διχάλας, Hopf
  • Χαμιλτονιανά Συστήματα, Παράγωγα Συστήματα, Αντιστρέψιμα Συστήματα

3. Απεικονίσεις Poincare και μη αυτόνομα Συστήματα στο επίπεδο

4. Αυτόνομα Συστήματα τριών διαστάσεων και Χάος

  • Γραμμικά και μη-γραμμικά συστήματα: κρίσιμα σημεία, ευστάθεια, διαγράμματα φάσεων
  • Οι εξισώσεις Lorenz: ιδιότητες, κρίσιμα σημεία, ασυμπτωτική ευστάθεια, παράξενοι ελκυστές, χάος

5. Διακριτά Δυναμικά Συστήματα

  • Γραμμικά και μη-γραμμικά διακριτά συστήματα: σταθερά σημεία, ευστάθεια, cobwebs, περιοδικές λύσεις, τροχιές, ακολουθίες διπλασσιασμού περιόδου
  • Τριγωνική απεικόνιση
  • Λογιστική απεικόνιση και η σταθερά Feigenbaum

6. Πολυπλοκότητα

  • Μιγαδικές επαναληπτικές απεικονίσεις
  • Φράκταλς
  • Δίκτυα

Διδακτικές και μαθησιακές μέθοδοι
Παραδόσεις με τον κλασικό τρόπο, (πίνακας, κιμωλία), με σύγχρονη χρήση παρουσιάσεων, (Powerpoint), και του μαθηματικού πακέτου Matlab.

Μέθοδοι αξιολόγησης/βαθμολόγησης
1. Παράδοση μιας σειράς ασκήσεων
2. Προφορική Εξέταση

Γλώσσα διδασκαλίας
Ελληνική
 



Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

Συνιστώμενη βιβλιογραφία προς μελέτη
«Δυναμικά Συστήματα και Εφαρμογές», Δ. Σουρλάς, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις 2015.
«Δυναμικά Συστήματα και Χάος» Α και Β Τόμος, Α. Μπούντης, Εκδόσεις Παπασωτηρίου 1995.
«Μη Γραμμικές Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις», Α. Μπούντης, Εκδόσεις Πνευματικού, 1997.
«Ο θαυμαστός κόσμος των Fractals», Α. Μπούντης, Εκδόσεις Leader Books, 2004.
"Dynamical Systems with Applications using Matlab" S. Lynch, Birkhauser 2014.
"Differential Equations and Dynamical Systems" , L. Perko, Springer, 2000.
"Dynamics and Bifurcations", J. Hale, H. Kocak, Springer-Verlag, 1991.
"Nonlinear Oscilations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields" J. Guckenheimer, P. Holmes, Springer,1983.
"Chaos, An Introduction to Dynamical Systems", K. Alligoog, T. Sauer, J. Yorke, Springer, 1997.
"Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos", M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney, Elsevier Academic Press, 2004.
 



Χρήσιμα Αρχεία

Σημειώσεις
 AΡΧΕΙΑ MAPLE 1 έως 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ  2009-12-17
 ΑΡΧΕΙΑ MAPLE 5 έως 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ  2009-12-17
 ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΩΝ  2013-06-18
 Mathematical Foundation of the Lie-Santili theory  2010-03-23
 Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με το Maple  2009-11-05
 Εισαγωγή στις εντολές του Maple  2009-11-05
 ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ  2016-10-19
 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του MAPLE  2015-10-11

Ασκήσεις
 ΝΕΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ  2015-10-11

Διάφορα
 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ  2012-01-23